Kì thi HSG lớp 9



Câu 1 a) Giải hệ phương trình:

b) Giải phương trình:

Câu 2 a) Chứng minh rằng không tồn tại các bộ ba số nguyên 
 thỏa mãn đẳng thức:
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên 
 thỏa mãn đẳng thức:
Câu 3 Cho hình bình hành ABCD với 
. Đường phân giác của góc 
 cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O khác C. Kẻ đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với CO. Đường thẳng (d) lần lượt cắt các đường thẳng CB, CD tại E, F. a) Chứng minh rằng 
. b) Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF. c) Gọi giao điểm của OC và BD là I. Chứng minh rằng 
. Câu 4 Với x, y là những số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:



Câu 5.
Chứng minh rằng n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24 với mọi n
N
Cho phương trình mx2 -2(m-2) x + m – 3 = 0. Tìm các giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phương trình thỏa mãn điều kiện x21 + x22 = 1

----------------------------------Hết-----------------------------------









Câu 1 a) Đặt x – 1 = a, y – 2 = b ta có

Từ (2) ta có
thay vào (1) ta có

=> b = 0 => x = 1; y = 2
b)

x5 – 4x4 +6x3 – 16x2 + 25x – 12= 0 ( ( x- 1)2(x-3)( x2 + x+ 4) = 0 ==> x = 1 hoặc x = 4
Câu 2a) x4 + y4 + z4 = 8z4 + 5 => x, y, z cùng lẻ hoặc chỉ có 1 số lẻ
Với x, y, z cùng lẻ => x4 + y4 + z4 chia 8 dư 3 mà 8z4 + 5 chia 8 dư 5 ( vô lí)
Với x, y, z chỉ có 1 số lẻ => x4 + y4 + z4 chia 8 dư 1 mà 8z4 + 5 chia 8 dư 5 ( vô lí) . Vậy không tồn tại bộ ba số x, y, z thoả mãn đẳng thức
b) ( x + 1) 4 – ( x – 1)4 = y3( y3 = 8x(x2 +1)
Nếu x > 0 => 8x(x2 +1) > (2x)3 và 8x(x2 +1) < ( 2x + 1)3 => (2x)3 < y3 < (2x+1)3
=> không có giá trị nào của y nguyên thoả mãn.
Tương tự với x < 0 ta cũng có kết quả như trên. Với x = 0 => y = 0 ( thoả mãn)
Câu 3


a)Tam giác CEF cân tại C nên CO là trung trực
của EF và
, OE = OF
=> Tam giác BAE cân tại B => BE = BA = DC.
=> Tam giác DAF cân tại D => DA = DF = BC.
Tứ giác BCDO nội tiếp =>

=>

b)
=> OC = OE mà OE = OF
=> O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF.
c) CI cắt AD tại K. KD // BC =>

=> Đpcm

Câu IV Ta có


Đặt